Igår postade jag ett "bevis" för att π = 4. Var och en som kan lite matematik förstår förstås att det är fel, men vari ligger felet?
Håll i dig, för nu blir det oändligheter! ?
Du kan sätta ut en punkt, vilken som helst, på en cirkel och få vinkeln i antalet grader från 0-360. Du kan också göra en linje från 0-360, och sätta in punkten på den linjen. Men det finns inget sätt, ens i teorin, som du kan räkna alla punkterna från 0-360 på.
Därför är den oändliga mängden punkter på linjen större än det oändliga tal du kan räkna till.
Krångligt? Låt mig få förklara lite till.
I "beviset" från igår blir det visserligen ett oändligt antal hörn, men man kan räkna dem (i teorin)! Vi börjar ju först med 4 hörn, sedan blir det 12, 28 och så vidare. Det blir ett oändligt antal hörn, men de är räknebara. Vi skriver denna oändlighet ∞.
Nu är det så att π är ett irrationellt tal. Det betyder att man kan inte beräkna det exakt, hur man än bär sig åt. Varför inte? Tänk dig såhär:
Du har en linje, som du delar på mitten.
De nya halvorna kan du dela på mitten, och så vidare, men du kan aldrig nå en punkt där du delat den ursprungliga linjen på exakt 1/3. Det innebär att man inte kan räkna alla punkter på en linje. Det går helt enkelt inte; inte ens i teorin. Denna oändlighet (alla punkter på en linje) skriver vi Ø.
Från ovanstående resonemang, kan vi alltså se att
Ø > ∞
hur konstigt det än kan låta att en oändlighet kan vara större än en annan. Och eftersom antalet punkter på en cirkels omkrets är lika med Ø, kan vi aldrig nå fram till en perfekt cirkel genom att bara vika in antalet hörn i en kvadrat – även om vi viker in oändligt många hörn.
Slutsats: π = 3,14159265... även den här gången!
?
